複數與工程

複數與工程

賴添盛　技師

複數的起源

1805年出生於愛爾蘭的哈彌爾頓，在1843年10月16日的深夜，與妻子一同恩愛的散步在布魯赫姆橋上，突發的靈感想通了一個難解的問題：i2=-1…(1-1)，從此以後，人類數學上除了『實數』之外，還增加了『虛數』，兩者結合形成『複數』，改變了人類數學上的解題技術。

『複 數』的發明，破解了許多物理數學上原先無解的問題，對人類的科技發展影響深遠。但是，『虛數』畢竟只是一種虛擬的數，在現實的生活中是不存在的，換句話 說，『實數』和『虛數』是二種獨立的變數，解題到最後終究必須轉化成實數解，才有物理上的意義。少部分後學者不明白其中奧秘，常常混淆不清。

為了讓讀者認清真相，首先請看一則解一元二次方程式的問題如下：求解：z2+2z+1=0…(2-1)，解：

(一)實數域之解，令z=x，x為實數…(2-2)，代入(2-1)式中，得x2+2x+2=(x+1)2+1≧1…(2-3)，所以(2-1)式無解。

(二)複數域之解，令z=x+yi，x，y為實數…(2-4)，代入(2-1)式中，得z2+2z+2=x2+2xyi-y2+2x+2yi+2=(x2+2x-y2+2)+2y(x+1)i=0，得x2+2x-y2+2=0…(2-5)，2y(x+1)=0…(2-6)，若y=0，則x2+2x+2=0，無解。若x=-1，則y=±1，得解z=-1+i，-1-i(共軛複數)…(2-7)

在 實數域中無解的問題，因為借用哈彌爾頓虛擬的『虛數』後，卻一定可以在複數域中得到『共軛複數』解，但是這種解只是『虛擬解』，在現實生活中是不存在的。 以下再看另一則解結構動力的問題，求解：m(d2v/dt2)+kv=0…(3-1)，v(0)=a…(3-2)，dv(0)/dt=b…(3-3)， 解：

(一)複數域之解，令v=Cest，代入(3-1)式中，得ms2+k=0…(3-4)，令ω2=k/m，代入(3-4)式中，得s2+ω2=0…(3-5)，得s=+ωi，-ωi(共軛複數)，v之通解為v=C1eiωt+C2 e-iωt…(3-6)，代入(3-2)，(3-3)式中，得v(0)=a=C1+C2，dv(0)/dt=b=iω(C1-C2)→C1-C2=b/iω，C1=a/2+b/2iω…(3-7)，C2=a/2-b/2iω…(3-8)，代入(3-6)式中，得v=(a/2)(eiωt+e-iωt)+(b/2iω)(eiωt-e-iωt)，=acosωt+(b/ω)sinωt…(3-9)(『虛數』互相抵銷，回到現實)，=ρcos(ωt-θ)…(3-10)，ρ=﹝a2+(b/ω)2﹞1/2…(3-11)，θ=tan-1(b/ωa)…(3-12)，θ為遲滯相位角差，表示當t=θ/ω時，v才會達到最大值。

(二)實數域之解，根據Euler’s公式，e±iωt=cosωt±isinωt…(3-13)，將(3-6)式之通解改為v=R1 cosωt+R2sinωt…(3-14)，代入(3-2)，(3-3)式中，得v(0)=a=R1…(3-15)，dv(0)/dt=b=ωR2→R2=b/ω…(3-16)，代入(3-14)式中，得v=acosωt+(b/ω)sinωt… (3-17)，由(3-9)式與(3-17)式得知，實數域與複數域之解完全相同，不因解題技術差異而得到不同解。在解題過程中暫時借用哈彌爾頓所定義的 『複數』只是一種技術(手段)，由於複數根一定會以『共軛複數(Conjugate Complex Number)』的型式成雙成對、如影隨形的出現，『虛數』終究會在解題過程中互相抵銷而功成身退，回到現實生活中的實數解。明白這一點，相信你就會愛死 『複數』。或許有一天，你會虛擬一種比『虛數』更有意思的『超虛數』，去破解一些目前尚未解決的物理數學問題，你的成就，將會超越哈彌爾頓。

複數的意義

綜 合以上說明得知，『虛數』是人類在發展數學上的解題技術時，以人為定義方式發明的一種虛擬的數(相當於『虛擬實境』一樣)。『虛數』顧名思義，是一種虛擬 的數，在現實生活中不存在，在實務的商用數學中也用不著。『複數』可以用來破解一些物理數學上的問題，解題到最後經過轉化所得到的實數解，才有物理上的意 義，帶有『虛數』的複數解是沒有物理意義的。

(1)	虛數單位:
(2)	凡形如( a,b是實數)的稱為複數，其中稱a為實部、b為虛部
	當兩複數實部相等，虛部也相等則稱這兩個複數相等，
	也就是說，
(3)	我們稱是共軛複數，以來表示，
	共軛複數可以用來 做複數的除法運算
(4)

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